STEP 01
為什麼要量 G
g 很好量，但 g = GMₑ/Rₑ² 把 G 與地球質量綁在一起——先量出 G，才能解開地球的質量。
Mₑ = gRₑ² / G
Cavendish 1798 · Weighing the Earth
卡文迪西「扭秤」實驗TORSION BALANCE 3D LAB
兩顆鉛球之間的引力小到 10⁻⁷ N 等級——不能直接量，就把它變成可以量的東西：扭秤把力變成角度、石英絲提供平衡、面鏡光槓桿再把微小角度放大成牆上光點的位移。六步邏輯，一步步跟著想。
G 6.674×10⁻¹¹
⚖ 2Fa = κθ
☄ Δx ≈ 2Lθ 光槓桿
3D 旋轉・縮放・平移
Spot Shift Δx
0.00 mm
牆上光點位移。
Twist Angle θ
0 rad
θ ≈ Δx / (2L)
G Estimate
6.674
×10⁻¹¹ N·m²/kg²
Earth Mass
5.972
×10²⁴ kg · Mₑ = gRₑ²/G
κ 石英絲回復力矩
2θ 反射角加倍放大
Logic Chain
六步邏輯：從「為什麼」到秤量地球
每一件儀器都不是裝飾——它們是一連串「不得不」的聰明解法。跟著想一遍，你會自己重新發明這個實驗。
STEP 02
為什麼不能直接量
兩顆鉛球間的引力只有約 10⁻⁷ N，比一根頭髮的重量還小百萬倍——任何彈簧秤都讀不到。
F = GMm/r² ≈ 10⁻⁷ N
STEP 03
為什麼用扭秤
把「量力」改成「量角度」：兩端的微小引力形成一對力矩，推動橫桿轉出一個極小的角。
τ_grav = 2Fa
STEP 04
為什麼用石英絲
石英絲被扭轉時產生回復力矩，越扭越想轉回來——兩力矩相等時，橫桿停在平衡角 θ。
2Fa = κθ
STEP 05
為什麼用面鏡
θ 小到看不見。鏡子轉 θ，反射光轉 2θ；再讓光走一段長距離 L，微小角度就被放大成牆上的位移。
Δx ≈ 2Lθ
STEP 06
如何反推 G
讀出 Δx 換回 θ，由 κθ 求出力，再代回萬有引力定律——G 現身，地球被秤量。
G = κθr² / (2Mma)
3D Laboratory · Guided
互動實驗艙：跟著導覽一步步想
右側導覽面板會逐步說明「想法的來由」，每一步自動切換對應視角。也可以直接拖曳旋轉、滾輪縮放、右鍵平移，自由探索。
Gravity Lab Online
視角 電影視角
▲
◈ 左鍵旋轉 · 滾輪縮放 · 右鍵平移
① 讀光點0.00 mmΔx（望遠鏡）
➜
② 換角度—θ = Δx / 2L
➜
③ 求引力—F = κθ / 2a·s
➜
④ 得 G—G = F·r² / Mm
➜
⑤ 秤地球—Mₑ = gRₑ² / G
實驗控制台
把 M 轉到小球旁，產生引力力矩。
0°
M 越大，引力與偏轉越明顯。
1.00×
L 越長，Δx 越大、越好讀。
8.0 m
←/→ 上下步｜Space 自動導覽｜1-4 視角｜R 重置｜F 全螢幕
即時數據儀表板
外球轉角0.0°
光點位移 Δx0.00 mm
扭轉角 θ0 rad
G 估計值 ×10⁻¹¹6.674
地球質量 ×10²⁴5.972
系統狀態待命
引力讀值 F—
幾何對位 s—
儀器參數M 158kg · m 0.73kg · a 0.225m · κ 1.05×10⁻³ N·m/rad
G 讀值會隨光點是否穩定微幅飄動——等阻尼振盪停下，數字就收斂。
光槓桿放大器
試試導覽第 5、6 步：調整 L 滑桿，同一個 θ 下光點位移成正比放大——Δx ≈ 2Lθ。右上導覽面板會即時把 Δx 換算回 θ。
Theory Essentials
理論精要：三條式子秤量地球
力矩平衡
兩端引力形成力矩 2Fa，石英絲以 κθ 反抗；平衡時兩者相等，微小的力被「凍結」成可量的角度。
2Fa = κθ
光槓桿放大
反射定律使鏡面轉 θ 時光路轉 2θ；乘上距離 L，角度化為位移。這是 19 世紀最優雅的「放大器」。
Δx ≈ 2Lθ ⇔ θ ≈ Δx/2L
反推 G 與地球質量
由 θ 求 F、由 F = GMm/r² 解出 G；再把 G 代回 g = GMₑ/Rₑ²，地球的質量就此現身。
G = κθr²/2Mma → Mₑ = gRₑ²/G
1798 年，卡文迪西在完全靜止的密室裡讀出那一點點光斑位移——沒有離開實驗室，卻秤量了整顆地球。